Trigonometri

Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.

Perhatikan gambar segitiga di kanan.

Aturan kosinus menyatakan bahwa

Langsung ke: navigasi, cari

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\,$

dengan $\gamma\,$ adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut $\gamma\,$ .

Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta\,$

Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:

$\cos \alpha\ = {b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc}$

$\cos \beta\ = {a^2 + c^2 - b^2 \over 2ac}$

$\cos \gamma\ = {a^2 + b^2 - c^2 \over 2ab}$

Hukum Kosinus Pertama

$a = b \cos \gamma + c \cos \beta\,$

$b = c \cos \alpha + a \cos \gamma\,$

$c = a \cos \beta + b \cos \alpha\,$

Hukum Kosinus Kedua

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta\,$

Hubungan fungsi trigonometri

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,$

$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,$

$1 + \cot^2 A = \csc^2 A \,$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,$

Penjumlahan

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,$

$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,$

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,$

$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,$

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,$

$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,$

Rumus sudut rangkap dua

$\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,$

$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,$

$\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,$

Rumus sudut rangkap tiga

$\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,$

$\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,$

Rumus setengah sudut

$\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,$

$\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,$

$\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\,$

Published in:

Uncategorized

on April 6, 2009 at 12:37 am Tinggalkan sebuah Komentar

bukti turunan pake logaritma

math brain

Berikut adalah rumus-rumus dasar turunan/ derivatif:

Bila y=f(x) , y’=f'(x), dan a adalah konstanta maka:

1.
2.
3.
4.

5.
6.	etc…

Lihat lanjutan post di bawah untuk mengetahui bukti-buktinya.
=========================================================================

Mengapa Turunan dari

adalah

?? (a konstanta)

Bukti ini sangat mudah. Langsung kita gunakan definisi dari derivatif.
(atau bisa kita gunakan cara seperti di post “bukti sifat-sifat turunan” yang dilakukan secara bertahap..)
.

TERBUKTI

Selanjutnya: Mengapa turunan dari

adalah

Kita bisa saja menguraikan penurunan rumus ini dari awal, seperti cara yang serupa seperti di atas. Namun, kita gunakan saja rumus sebelumnya, untuk membuktikan rumus ini., supaya kita tidak 2 kali kerja..

Di atas merupakah rumus yang sudah kita dapatkan sebelumnya. Substitusikan a=e.

Ingat bahwa ln e =1. Ingat bahwa: = , maka:

TERBUKTI

=========================================================================

Mengapa turunan dari

adalah

ln-kan kedua ruas.

turunkan kedua ruas. Ingat bahwa turunan dari ln x adalah 1/x.

TERBUKTI

=========================================================================

Mengapa turunan dari

adalah

?? (a konstanta)

ln-kan kedua ruas.

turunkan kedua ruas, maka hasilnya:

TERBUKTI

Selanjutnya: Mengapa turunan dari

adalah

Sesuai dengan rumus sebelumnya:

Jika a=e, maka:

TERBUKTI

=========================================================================

Mengapa turunan dari

adalah

Untuk membuktikan ini, kita bisa gunakan definisi awal dari derivatif.
.

Ingat bahwa:
==> Note: rumus di atas HARUS dapat diturunkan sendiri.
Dengan demikian, persamaan menjadi:

TERBUKTI

Mengapa turunan dari

adalah

Pembuktiannya menggunakan cara yang sama seperti di atas.

Ingat bahwa:
==> rumus di atas HARUS bisa diturunkan sendiri.
Dengan demikian, persamaan menjadi:

TERBUKTI

Note: Cara lain menurunkan turunan sin x dan cos x yaitu dengan melihat identitas eulernya (Lihat di sini):
*)
*)
Dengan menurunkan sisi ruas kanan dari , maka akan menghasilkan sisi kanan dari .

Mengapa turunan dari

adalah

Fungsi tangen dapat dibentuk ke dalam bentuk pembagian.

Kemudian, ingatlah sifat turunan berikut.

Dengan menggunakan sifat itu, maka pembuktian turunan f(x) akan segera terbukti.

TERBUKTI

Rumus-rumus di atas adalah rumus turunan yang siap pakai. Selanjutnya, akan dibahas pembuktian untuk rumus-rumus yang kurang begitu *terpakai*. Jika terpakai pun, kita dapat dengan mudah menurunkannya. Konsep menurunkannya sama seperti di atas, kecuali adanya beberapa yang mengharuskan substitusi trigonometri.. But, lagi-lagi, rumus di bawah jangan sengaja dihapal (kecuali kalau tidak sengaja terhapal).. ;P

Bukti: turunan dari

, dan

Bukti bisa menggunakan teorema sebelumnya yang berbunyi: .
Sama halnya seperti menggunakan dalil rantai…

Dengan aturan rantai, maka:

TERBUKTI

Bukti turunan dari fungsi arcsin x, arccos x, arctan x, etc

Tidak semua bukti akan diberikan di sini, karena prosesnya hampir sama. Dan, akan terlalu banyak jika semuanya dibahas dalam satu post di blog. So, it is your challenge to prove it by yourself…

Bukti turunan dari fungsi arcsin x

Turunkan kedua ruas, maka hasilnya:

Dengan menggambar segitiga siku-siku dengan sudut y (memisalkan sisi depan adalah x, sisi miring 1), maka kita akan mendapatkan cos y. (Lihat gambar)

Atau, kita bisa memanfaatkan identitas trigonometri: , maka:
.

Di sini, kita dapat: . Maka, tinggal disubstitusikan…

TERBUKTI

Bukti turunan dari fungsi arccotan x

Turunkan kedua ruas maka hasilnya:

, maka

.
Gambarkan segitiga siku-siku dengan sudut y. Misalkan sisi depan adalah 1, dan sisi samping adalah x. (lihat gambar).

Dengan demikian, kita bisa menghitung panjang sisi miring, kemudian menghitung nilai dari sin y.

Substitusikan nilai dari sin y ke persamaan sebelumnya.

TERBUKTI

Bukti turunan dari fungsi hiperbolik: sinh x, cosh x, etc

Pembuktiannya menggunakan sisi kanan dari identitas terhadap euler. Ingat bahwa:

Bukti turunan sinh x

(TERBUKTI)

Bukti turunan cosh x
(TERBUKTI)

Bukti turunan tanh x

___________ (TERBUKTI)

Published in:

Uncategorized

on April 4, 2009 at 6:28 am Tinggalkan sebuah Komentar

Barisan dan deret aritmatika

Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan Aritmatika

(1) 3, 7, 11, 15, 19, …
(2) 30, 25, 20, 15, 10,…

Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U₁, U₂, U₃,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
3, 7, 11, 15, 19, …
Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmetika tersebut maka
U₁ = 3 =+ 4 (0)

U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
U₃= 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
….
U_n = 3 + 4(n-1)

Secara umum, jika suku pertama (U₁) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n – 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan

U_n = a + b(n-1)

Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

U₁, U₂, U₃, …….U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = …. = U_n – U_n-1 = konstanta

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U₁, U₂, U₃, … barisan aritmetika. U_1, U₂, U₃, … adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + …
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S_nmaka S dari deret di atas adalah :

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah

jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah

Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus